INTEGRAL RANGKAP INTEGRAL GANDA

Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, 4, ….n.

clip_image002

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable.

Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk

dan bentuklah jumlah :

clip_image004

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

clip_image006

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

a. clip_image008clip_image010clip_image012

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

b. clip_image008[1]clip_image014clip_image016

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG

Bentuk umum :

clip_image018

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }

a,b,c dan d adalah konstanta

Contoh :

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG

clip_image028

dimana :

R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

clip_image030

dimana :

R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

Contoh :

clip_image032

clip_image034

clip_image036

clip_image038

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya : clip_image040

dapat dijelaskan sbb :

1. LUAS

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

clip_image042

Dalam koordinat polar :

clip_image044

contoh :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y

Jawab :

clip_image046